→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання → Вища математика

Вища математика. Семантичний конспект розділу

← Вища математика

Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач
Докладніше →

1. Матрица [Центральне поняття розділу]

↑
Матрица — прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины)

Матрица — записывается в виде

или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

2. Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij)

↑
Матрица Cmxn=(cij) такая, что cij=aij+bij (i=1,m, j=1,n)

Вводится только для матриц одинаковых размеров

3. Произведение матрицы Amxn=(aij) на число k

↑
Матрица Bmxn=(bij),такая, что bij=k*aij (i=1,m, j=1,n)

4. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число

↑
обладают следующими свойствами:

  1. А+В=В+А
  2. А+(В+С)=(А + В) + С
  3. А+О=А
  4. А-А=О
  5. 1*А=А;
  6. а*(А+В)=аА+аВ;
  7. (а+в)*А=аА+вА
  8. а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С матрицы, а и в-числа.

5. Произведение двух матриц

↑
1,m, j=1,n)

 Операция вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
  • Получение элемента Cik схематично изображается так:

  • Обладает следующими свойствами:

    1. А*(В*С)=(А*В)*С;
    2. А * (В + С) = АВ + АС
    3. (А+В)*С=АС+ВС;
    4. а(АВ) = (аА)В,

    если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

    • 6. Ранг матрицы

    		↑
    наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

    7. Свойства ранга матрицы

    		↑
    При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
  • Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
  • Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

    • 8. Базисный минор

    		↑
    Базисный минор — минор, порядок которого определяет ранг матрицы. У матрицы может быть несколько таких миноров.

    9. Транспонированная матрица

    		↑
    Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером

    10. Элементарные преобразования матриц

    		↑
    Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
  • Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля
  • Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число


    • 11. Эквивалентные матрицы

    		↑
    Такие две матрицы А и В, одна из которых получается из другой с помощью элементарных преобразований

    12. Перестановочные матрицы

    		↑
    Матрицы А и В такие что АВ = ВА

    13. Квадратная матрица [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

    14. Диагональная матрица

    		↑
    Диагональная матрица — Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю

    15. Единичная матрица

    		↑
    Единичная матрица — Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице

    Единичная матрица — Обозначение: Е

    16. Нулевая матрица

    		↑
    Нулевая матрица — Матрица, все элементы которой равны нулю

    Нулевая матрица — Обозначение: О

    17. Матрицы O и E [Ключове поняття розділу]

    		↑

    18. Треугольная матрица

    		↑
    Треугольная матрица — Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю

    19. Матрица n-го порядка

    		↑
    Квадратная матрица размера n x n

    20. Обратная матрица

    		↑
    Обратная матрица — это матрица А-1 при условии, что A*A-1=A-1*A=E, где Е единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

    Обратная матрица — Обозначение: А-1

    21. Свойства обратной матрицы

    		↑
    -1.

    22. Определитель матрицы (системы) [Ключове поняття розділу]

    		↑

    23. Невырожденная матрица (система) [Ключове поняття розділу]

    		↑
    квадратная матрица (система), определитель которой D=detА не равен нулю.

    24. Алгебраическое дополнение [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Алгебраическое дополнение — минор элемента aij определителя, взятый со знаком [плюсk, если сумма i + j четное число, и сознаком [минусk, если эта сумма нечетная.

    Алгебраическое дополнение — Обозначение: Aij:  Aij=(-1)i+j*mij. Так A11=+m11,A32=-m32.

    25. Свойства определителей

    		↑
    Свойства определителей :
    • ("Равноправность строк и столбцов"). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

      Иными словами:

    • При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
    • Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
    • Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
    • Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

      Например,

    • ("Элементарные преобразования определителя"). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
    • ("Разложение определителя по элементам некоторого ряда"). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
    • Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

      Так, например, a11A21+a12A22+a13A23=0.

    26. Союзная матрица [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Союзная матрица — матрица

    ,

    где Aij алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

    Союзная матрица — Обозначение: A*

    27. Схема вычисления определителя 2-го порядка

    		↑
    Схема вычисления определителя 2-го порядка :

    28. Схема вычисления определителя 3-го порядка

    		↑
    Схема вычисления определителя 3-го порядка :

    29. Минор

    		↑
    Минор — определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного определителя n-го порядка путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент aij.

    Минор — Обозначение: Mij

    30. Вырожденная матрица

    		↑
    Вырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой D=detА равен нулю.

    31. Доказательство теоремы о невырожденной матрице [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Доказательство теоремы о невырожденной матрице — Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

    Составим союзную матрицу

    и инайдем произведение матриц A,A*
    Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

    Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

    Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

    32. Теорема о невырожденной матрице

    		↑
    Теорема о невырожденной матрице — всякая невырожденная матрица имеет обратную.

    33. Каноническая матрица

    		↑
    Каноническая матрица — Матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю

    Каноническая матрица — Пример:

    34. Противоположная матрице А

    		↑
    Противоположная матрице А — Матрица -А = (-l)*A

    35. Вектор [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Вектор — Матрица, содержащая один столбец или одну строку

    Вектор — Имеет вид:

    36. Свойства проекций

    		↑
    Свойства проекций:
    Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла j между вектором и осью, т. е. прla =|a |cos j .

    Свойства проекций:
    • Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось
    • При умножении вектора а на число А его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

    37. Вектор [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

    Вектор — Обозначение: Если А начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а.

    38. Единичный вектор [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Единичный Вектор, длина которого равна единице.

    Единичный

    39. Длина (модуль) вектора [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Длина (модуль) вектора — длина отрезка

    Длина (модуль) вектора — Обозначение: |АВ| или |а|.

    40. Модуль вектора

    		↑
    Модуль вектора — квадратный корень из суммы квадратов его проекций на оси координат.

    Модуль вектора — Обозначение:

    41. Нулевой вектор

    		↑
    Нулевой вектор — Вектор, длина которого равна нулю.

    Нулевой вектор — Такой вектор направления не имеет

    Нулевой вектор — Обозначение: 0

    42. Орт вектора

    		↑
    Орт вектора — Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением данного вектора.

    43. Произведение вектора на число

    		↑
    Произведение вектора на число — Вектор k*а (или а*k), который имеет длину |k|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если k>0 и противоположное направление, если k<0.

    44. Проекция вектора на ось

    		↑
    Проекция вектора на ось — Положительное число, если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число, если вектор и ось противоположно направлены.

    Проекция вектора на ось — Обозначение:

    Проекция вектора на ось — Обозначение: прlАВ

    45. Следствия из свойств проекций

    		↑
    Следствия из свойств проекций:
    • Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.
    • Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

    46. Разложение вектора по ортам координатных осей

    		↑
    Разложение вектора по ортам координатных осей — это формула a=axi+ayj+azk, где числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

    Разложение вектора по ортам координатных осей — Обозначение: a = (ax ;ay ;az)

    47. Направляющие косинусы вектора

    		↑
    Направляющие косинусы вектора — Числа , которые равны


    Направляющие косинусы вектора — Координатами единичного вектора e являются числа

    Направляющие косинусы вектора — Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице:

    48. Противоположный вектор

    		↑
    Противоположный вектор — Обозначение: Вектор ВА (начало в точке В, а конец в точке A ) к вектору АВ.

    Противоположный вектор — Обозначение: Вектор -а к вектору а.

    49. Разность векторов

    		↑
    Разность векторов — Cложение вектора а с вектором, противоположным вектору b .

    Разность векторов — Вектор с=а-b такой, что b+с=а.

    50. Линейные операции над векторами

    		↑
    Линейные операции над векторами — операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

    51. Сумма векторов

    		↑
    Сумма векторов — Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов.

    Сумма векторов — Обозначение: ОB = ОА + АВ

    Сумма векторов — Обозначение: .

    52. Правило параллелограмма

    		↑
    Правило параллелограмма —

    Правило параллелограмма — В параллелограмме, построенном на векторах а и b одна направленная диагональ является суммой векторов а и b , а другая разностью.

    53. Свойства произведения векторов

    		↑
    Свойства произведения векторов:
    • Если b=k * а , то b || а . Наоборот, если b ||а , (а не равно нулю ), то при некотором k верно равенство b = kа
    • Всегда а =|а | а -о , т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.

    54. Линейные операции над проекциями векторов

    		↑
    Линейные операции над проекциями векторов:
    • При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются)
    • При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

    55. Решение системы [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Решение системы — n значений неизвестных х1=c1, x2=c2, ..., xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

    Решение системы — Обозначение:

    56. Матричный способ решения системы

    		↑
    Матричный способ решения системы — Отыскание решения системы по формуле X=A-1*B

    57. Совместная система [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Совместная система — система, которая имеет хотя бы одно решение.

    58. Неопределенная система

    		↑
    Неопределенная система — совместная система, которая имеет более одного решения.

    59. Частное решение системы [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Частное решение системы — одно из решений неопределенной совместной системы.

    60. Определенная система

    		↑
    Определенная система — совместная система, которая имеет единственное решение.

    61. Теоремы о решении систем линейных уравнений

    		↑
    Теоремы о решении систем линейных уравнений:
    • Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы
    • Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение
    • Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

    62. Общее решение системы [Ключове поняття розділу]

    		↑
    Общее решение системы — совокупность всех частных решений системы.

    63. Эквивалентные (равносильные) системы

    		↑
    Эквивалентные (равносильные) системы — две системы, которые имеют одно и то же общее решение. Другими словами: каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

    64. Правило решения произвольной системы линейных уравнений

    		↑
    Правило решения произвольной системы линейных уравнений:
    • Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)r(A), то система несовместна.
    • Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
    • Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
    • Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

    65. Однородная система

    		↑
    Однородная система — система, у которой все свободные члены равны нулю

    Однородная система — всегда совместна, так как x1=x2=x3=...=xn=0 является решением системы.

    66. Теоремы о ненулевых решениях однородной системы

    		↑
    Теоремы о ненулевых решениях однородной системы :
    • Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r
    • Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

    67. Множество

    		↑
    Множество — Совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку

    Множество — Пример:

    Запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15

    68. Элементы множества

    		↑
    Элементы множества — Объекты, из которых состоит множество

    Элементы множества — Записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества

    69. Пустое множество

    		↑
    Пустое множество — Множество, не содержащее ни одного элемента

    70. Система линейных уравнений

    		↑
    Система линейных уравнений — система вида где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi свободными членами, m и n - количество уравнений и неизвестных соответственно. Подлежат нахождению числа xn

    71. Теорема Кронекера-Капелли

    		↑
    Теорема Кронекера-Капелли — Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

    72. Расширенная матрица

    		↑
    Расширенная матрица — матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

    73. Несовместная система

    		↑
    Несовместная система — система, которая не имеет ни одного решения.

    74. Нулевое (тривиальное) решение

    		↑
    Нулевое (тривиальное) решение — решение вида: x1=x2=x3=...=xn=0

    75. Формулы Крамера

    		↑
    Формулы Крамера — Обозначение:

    76. Метод Гаусса

    		↑
    Метод Гаусса — Пусть дана система уравнений Процесс решения этим методом состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

    где
    На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

    77. Главные элементы системы

    		↑
    Главные элементы системы — Коэффициенты аіі системы вида

    78. Замечания к методу Гаусса

    		↑
    Замечания к методу Гаусса:
    • Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn из предпоследнего уравнения xn-1, далее подни]маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (xn-1,...,x1)
    • На практике удобнее работать не с системой , а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11, которое не равно нулю)

    79. Скалярные величины

    		↑
    Скалярные величины — Величины, которые полностью определяются своим численным значением.

    80. Коллинеарные векторы

    		↑
    Коллинеарные векторы — Векторы, котрые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

    Коллинеарные векторы — Эти векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

    Коллинеарные векторы — Обозначение: a || b

    81. Равные (свободные) векторы

    		↑
    Равные (свободные) векторы — Векторы, которые коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

    Равные (свободные) векторы — Обозначение: а = b

    82. Компланарные векторы

    		↑
    Компланарные векторы — Векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

    Компланарные векторы — Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны.

    83. Правило треугольника

    		↑
    Правило треугольника — .

    84. Свойства линейных операций над векторами

    		↑
    Свойства линейных операций над векторами:
    • а+b=b+а
    • (а +b) +с=а + (b +с),
    • K1 (k2 а) =k1 k2 а
    • (k1 +k2) а =k1 а +k2 а
    • K (а +b) =k а+k b

    85. Проекция точки на ось

    		↑
    Проекция точки на ось — Основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.

    Проекция точки на ось — Обозначение:

    Зверніть увагу на додаткові посилання

    Якщо вас цікавить...

    Математика

    Головний розділ

    Вища математика
    загрузка...
    Сторінки, близькі за змістом
    Вища математика
    Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач