→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися

Матрица

Предметна область:  Математика

Матрица — прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины)



Матрицазаписывается в виде

или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

Похідні поняття[Приховати / показати]

Матрицы O и EВ матричном исчислении играют роль чисел 0 и 1 в арифметике
Транспонированная матрица Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером


Транспонированная матрицаобладает следующим свойством: (АТ)Т


Транспонированная матрицаОбозначение: АТ
Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij) Матрица Cmxn=(cij) такая, что cij=aij+bij (i=1,m, j=1,n)


Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij) Вводится только для матриц одинаковых размеров


Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij)Пример:

Произведение матрицы Amxn=(aij) на число k Матрица Bmxn=(bij),такая, что bij=k*aij (i=1,m, j=1,n)
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

  1. А+В=В+А
  2. А+(В+С)=(А + В) + С
  3. А+О=А
  4. А-А=О
  5. 1*А=А;
  6. а*(А+В)=аА+аВ;
  7. (а+в)*А=аА+вА
  8. а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С матрицы, а и в-числа.

Элементарные преобразования матриц:
  • Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
  • Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля
  • Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число
Эквивалентные матрицы Такие две матрицы А и В, одна из которых получается из другой с помощью элементарных преобразований


Эквивалентные матрицыОбозначение: А ~ В
Произведение двух матриц — Такая матрица, что

cik=ai1*b1k+ai2*b2k+...+ain*bnk. где (i=1,m, j=1,n)



Произведение двух матриц:
  • Операция вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
  • Получение элемента Cik схематично изображается так:

  • Обладает следующими свойствами:

    1. А*(В*С)=(А*В)*С;
    2. А * (В + С) = АВ + АС
    3. (А+В)*С=АС+ВС;
    4. а(АВ) = (аА)В,

    если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Перестановочные матрицы Матрицы А и В такие что АВ = ВА
Определитель матрицы (системы) — число det A (или |A|), которое можно сопоставить квадратной матрице А (системе) порядка N

Определитель матрицы (системы):



Определитель матрицы (системы)Обозначение:

Определитель матрицы (системы)детерминант.
Невырожденная матрица (система) квадратная матрица (система), определитель которой D=detА не равен нулю.
Свойства обратной матрицы:
  • det(A-1)=1/det A;
  • (A*B)-1=B-1*A-1;
  • (A-1)T=(AT)-1.
Ранг матрицы наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.


Ранг матрицыОбозначение: r(A) или rang A
Свойства ранга матрицы:
  • При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
  • Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
  • Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Зв'язані поняття[Приховати / показати]

Матрица
Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij)Ранг матрицыПерестановочные матрицыТранспонированная матрицаПроизведение матрицы Amxn=(aij) на число kЭквивалентные матрицыПроизведение двух матрицОперации сложения матриц и умножения матрицы на числоСвойства ранга матрицыЭлементарные преобразования матрицНевырожденная матрица (система)Матрица n-го порядкаМатрицы O и EОпределитель матрицыОпределитель матрицыОпределитель матрицы (системы)Свойства обратной матрицыБазисный минорОбратная матрицаСоюзная матрицаПротивоположная матрице АВекторКаноническая матрицаНулевая матрицаДоказательство теоремы о невырожденной матрице
→ Мапа поняття — Більше інформації про зв'язки цього поняття з іншими поняттями

Близькі поняття: [Приховати / показати]

Свойства определителейКвадратная матрицаЭлементарные преобразования матрицОпределитель матрицы (системы)Сумма двух матриц Amxn=(aij) Bmxn=(bij)Каноническая матрицаПроизведение двух матрицЕдиничная матрицаНулевая матрицаТранспонированная матрицаОперации сложения матриц и умножения матрицы на числоОпределитель матрицыАлгебраическое дополнениеДиагональная матрицаМатрицы O и EРанг матрицыОбратная матрицаСоюзная матрицаСвойства обратной матрицыСвойства ранга матрицыМинорВекторПроизведение матрицы Amxn=(aij) на число kПротивоположная матрице АЭквивалентные матрицыПерестановочные матрицыПравило параллелограммаРавные (свободные) векторыНулевое (тривиальное) решениеНесовместная системаБазисный минорВырожденная матрицаНевырожденная матрица (система)Схема вычисления определителя 3-го порядкаСхема вычисления определителя 2-го порядкаТреугольная матрицаМатрица n-го порядкаВекторТеорема о невырожденной матрицеДоказательство теоремы о невырожденной матрицеОпределитель матрицы

Контент, у якому йде мова про Матрица

§ 1. Матрицы

     1.1. Основные понятия
     1.2. Действия над матрицами

§ 3. Невырожденные матрицы

     3.1. Основные понятия
     3.2. Обратная матрица
     3.3. Ранг матрицы

§ 2. Определители

     2.1. Основные понятия
     2.2. Свойства определителей

Якщо вас цікавить...

загрузка...