|
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
Высшая математика. Элементы линейной алгебры. Семантичний конспект розділу
Семантичне ядро: Матрица ↓ Определитель матрицы (системы) ↓ Решение системы ↓ Невырожденная матрица (система) ↓ Общее решение системы ↓ Частное решение системы ↓ Совместная система ↓ Операции сложения матриц и умножения матрицы на число ↓ Доказательство теоремы о невырожденной матрице ↓ Союзная матрица ↓ Алгебраическое дополнение ↓
Матрица — прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины) Матрица — записывается в виде
или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.
1,m, j=1,n) Операция вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Базисный минор — минор, порядок которого определяет ранг матрицы. У матрицы может быть несколько таких миноров.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером
Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
Такие две матрицы А и В, одна из которых получается из другой с помощью элементарных преобразований
Диагональная матрица — Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю
Единичная матрица — Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице Единичная матрица — Обозначение: Е
Треугольная матрица — Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю
Алгебраическое дополнение — минор элемента aij определителя, взятый со знаком [плюсk, если сумма i + j четное число, и сознаком [минусk, если эта сумма нечетная. Алгебраическое дополнение — Обозначение: Aij: Aij=(-1)i+j*mij. Так A11=+m11,A32=-m32.
Свойства определителей :
Союзная матрица — матрица
где Aij алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя). Союзная матрица — Обозначение: A*
Минор — определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного определителя n-го порядка путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент aij. Минор — Обозначение: Mij
Вырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой D=detА равен нулю.
Доказательство теоремы о невырожденной матрице — Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть Составим союзную матрицуи инайдем произведение матриц A,A*  Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, чтоРавенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
Решение системы — n значений неизвестных х1=c1,
x2=c2, ..., xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Решение системы — Обозначение: 
Матричный способ решения системы — Отыскание решения системы по формуле X=A-1*B
Совместная система — система, которая имеет хотя бы одно решение.
Неопределенная система — совместная система, которая имеет более одного решения.
Определенная система — совместная система, которая имеет единственное решение.
Теоремы о решении систем линейных уравнений:
Общее решение системы — совокупность всех частных решений системы.
Эквивалентные (равносильные) системы — две системы, которые имеют одно и то же общее решение. Другими словами: каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Правило решения произвольной системы линейных уравнений:
Однородная система — система, у которой все свободные члены равны нулю  Однородная система — всегда совместна, так как x1=x2=x3=...=xn=0 является решением системы.
Теоремы о ненулевых решениях однородной системы :
Система линейных уравнений — система вида
где числа aij
называются коэффициентами системы, числа bi свободными членами, m и n - количество уравнений и неизвестных соответственно.
Подлежат нахождению числа xn
Теорема Кронекера-Капелли — Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы
Расширенная матрица — матрица системы, дополненная столбцом свободных членов 
Метод Гаусса — Пусть дана система уравнений
Процесс решения этим методом состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид где  На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Замечания к методу Гаусса:
Зверніть увагу на додаткові посиланняЯкщо вас цікавить...Головний розділСторінки, близькі за змістомзагрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
|
Copyright © 2008—2026 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|
Вища математика
Математика
