§ 4. Системы линейных уравнений. Семантичний конспект розділу

Семантичне ядро:

Решение системы ↓ Частное решение системы ↓ Общее решение системы ↓ Совместная система ↓

1. Решение системы [Центральне поняття розділу]

Решение системы — n значений неизвестных х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Решение системы — Обозначение:

2. Матричный способ решения системы

↑

Матричный способ решения системы — Отыскание решения системы по формуле X=A^-1*B

3. Совместная система [Ключове поняття розділу]

↑

Совместная система — система, которая имеет хотя бы одно решение.

4. Неопределенная система

↑

Неопределенная система — совместная система, которая имеет более одного решения.

5. Частное решение системы [Ключове поняття розділу]

↑

Частное решение системы — одно из решений неопределенной совместной системы.

6. Определенная система

↑

Определенная система — совместная система, которая имеет единственное решение.

7. Теоремы о решении систем линейных уравнений

↑

Теоремы о решении систем линейных уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

8. Общее решение системы [Ключове поняття розділу]

↑

Общее решение системы — совокупность всех частных решений системы.

9. Эквивалентные (равносильные) системы

↑

Эквивалентные (равносильные) системы — две системы, которые имеют одно и то же общее решение. Другими словами: каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

10. Правило решения произвольной системы линейных уравнений

↑

Правило решения произвольной системы линейных уравнений:

Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)r(A), то система несовместна.
Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

11. Однородная система

↑

Однородная система — система, у которой все свободные члены равны нулю

Однородная система — всегда совместна, так как x₁=x₂=x₃=...=x_n=0 является решением системы.

12. Теоремы о ненулевых решениях однородной системы

↑

Теоремы о ненулевых решениях однородной системы :

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r
Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

13. Система линейных уравнений
↑
Система линейных уравнений — система вида где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i свободными членами, m и n - количество уравнений и неизвестных соответственно. Подлежат нахождению числа x_n

14. Теорема Кронекера-Капелли
↑
Теорема Кронекера-Капелли — Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

15. Расширенная матрица
↑
Расширенная матрица — матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

16. Несовместная система
↑
Несовместная система — система, которая не имеет ни одного решения.

17. Нулевое (тривиальное) решение
↑
Нулевое (тривиальное) решение — решение вида: x₁=x₂=x₃=...=x_n=0

18. Формулы Крамера
↑
Формулы Крамера — Обозначение:

19. Метод Гаусса
↑
Метод Гаусса — Пусть дана система уравнений Процесс решения этим методом состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

20. Главные элементы системы
↑
Главные элементы системы — Коэффициенты а_іі системы вида

21. Замечания к методу Гаусса
↑
Замечания к методу Гаусса:
Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x_n из предпоследнего уравнения x_n-1, далее подни]маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (x_n-1,...,x₁)
На практике удобнее работать не с системой , а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a₁₁ был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a₁₁, которое не равно нулю)