→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання → Вища математика → Элементы линейной алгебры → § 3. Невырожденные матрицы

§ 3. Невырожденные матрицы. Семантичний конспект розділу

← § 3. Невырожденные матрицы

     3.1. Основные понятия
     3.2. Обратная матрица
     3.3. Ранг матрицы
Докладніше →

1. Невырожденная матрица (система) [Центральне поняття розділу]

↑
квадратная матрица (система), определитель которой D=detА не равен нулю.

2. Теорема о невырожденной матрице

↑
Теорема о невырожденной матрице — всякая невырожденная матрица имеет обратную.

3. Доказательство теоремы о невырожденной матрице

↑
Доказательство теоремы о невырожденной матрице — Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и инайдем произведение матриц A,A*
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

4. Ранг матрицы

↑
наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

5. Свойства ранга матрицы

↑
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
  • Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
  • Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

    • 6. Базисный минор

    		↑
    Базисный минор — минор, порядок которого определяет ранг матрицы. У матрицы может быть несколько таких миноров.

    7. Обратная матрица

    		↑
    Обратная матрица — это матрица А-1 при условии, что A*A-1=A-1*A=E, где Е единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

    Обратная матрица — Обозначение: А-1

    8. Свойства обратной матрицы

    		↑
    -1.

    9. Вырожденная матрица

    		↑
    Вырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой D=detА равен нулю.

    10. Союзная матрица

    		↑
    Союзная матрица — матрица

    ,

    где Aij алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

    Союзная матрица — Обозначение: A*

    Зверніть увагу на додаткові посилання

    Якщо вас цікавить...

    Математика

    Головний розділ

    § 3. Невырожденные матрицы

    Сторінки, близькі за змістом

    § 3. Невырожденные матрицы
    Вища математика
    загрузка...
    Сторінки, близькі за змістом
    § 3. Невырожденные матрицы
         3.1. Основные понятия
         3.2. Обратная матрица
         3.3. Ранг матрицы
    Вища математика
    Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач