§ 3. Невырожденные матрицы

3.1. Основные понятия

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю: Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А. называется матрица

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя)

3.2. Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

A*A^-1=A^-1*A=E

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3.1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и инайдем произведение матриц A,A*

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Отметим свойства обратной матрицы:

1. det(A^-1)=¹/det A;
2. (A*B)^-1=B^-1*A^-1;
3. (A^-1)^T=(A^T)^-1

Пример 3.1.

Пример 3.3.

3.3 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m х n.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k≤min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких минoров можно составить   штук, где  

—число сочетаний из n элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается  r(A) или rang A.

Очевидно, что 0≤r≤min(m; n), где min(m; п) — меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4.

Найти ранг матрицы:

 Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля значит, r(А)=2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1.  При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2.  Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3.  Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5.

Найти ранг матрицы

используя результаты примера 1.4.

то есть

Таким образом, ранг матрицы А равен r(A)=2.