|
§ 39. Вычисления определенного интеграла
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
§ 39. Вычисления определенного интеграла
39.1. Формула Ньютона-Лейбница Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции ƒ (х). Например, При вычисленииопределенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям. 39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) Пусть для вычисления интеграла сделана подстановка х = φ(t).
Теорема 39.1. Если:
1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β]; 2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b]; 3) φ(а)=а и φ(β)=b. то
▼Пусть F(x) есть первообразная для
ƒ(х) на отрезке [а;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что: 1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x); 3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример 39.1. Вычислить Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х=0, то t = 0;
если x = 2, то t =
39.3. Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [а; b], то имеет место формула
▼На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример 39.2. Вычислить Решение: Положим
Применяя формулу (39.2), получаем
Пример 39.3. Вычислить интеграл Решение: Интегрируем по частям. Положим
Поэтому
39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что
▼Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности
В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим
Если функция ƒ(х) четная (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); если функция ƒ(х) нечетная (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).▲ Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что
Зверніть увагу на додаткові посиланняЯкщо вас цікавить...Головний розділСторінки, близькі за змістомзагрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
|
Copyright © 2008—2024 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|