→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 20. Производная функции

20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

20.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где OM1=S+∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t  - выражает среднюю скорость движения точки зв время ∆t:

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

 

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1 (см. рис. 128).

Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М1.


Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k=tga, где a— угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсциссой х+∆х секущую (см. рис. 129). Обозначим через φ — угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При ∆х→0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходите касательную. Угол φ→α, т. е.

 

Следовательно,

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят .решения и множества других задач. Можно показать, что:

- если Q=Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

- если N=N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

- если m=m(x) — масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс α равен у штрих по х» и т. д.).

20.2. Определение производной; ее механический  и геометрический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция у=ƒ(х) определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции:

- аргументу х є (α; b) дадим приращение ∆х: х+∆х є (a; b);

- найдем соответствующее приращение функции: ∆у=ƒ(х+∆х)—ƒ(х);

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆у/∆х;

- найдем предел этого отношения при ∆х→0:

Если этот предел существует, то его называют производной функции ƒ(х) и обозначают одним из символов f'x, ƒ'(х); у'; у'х;.dy/dx

Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из  данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х0 обозначается одним из символов: ƒ'(х0), у'|x=xo или у'(х0).

<< Пример 20.1

 Найти производную функции у=С, С=const.


Решение:

- Значению х даем приращение ∆х;
- находим приращение функции ∆у: ∆у=ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=С-С= 0;
- значит, ∆(y)/ ∆(x)=0/∆(x)=0;
- следовательно,


<< Пример 20.2

 Найти производную функции у=х2.


Решение:

- Аргументу х даем приращение ∆х;
- находим ∆у: ∆у=(х+∆х)2—х2=2х•∆х+(∆х)2;
- составляем отношение

- находим предел этого отношения:

Таким образом, (х2)'=2х.


В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

Это равенство перепишем в виде V=S't, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можна сказать, что если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной

Это равенство перепишем в виде

ƒ'(х) = tga = k,

т. е. производная ƒ'(х) β точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в  точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания М имеет координаты (х0;y0) (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть k=ƒ'(х0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (у-yо—k(x—х0)), можно записать уравнение касательной: у—у0=ƒ'(х0)•(х-х0).

Прямая,   перпендикулярная   касательной   в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид

у—у0=

20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆y/∆x=ƒ'(х)+а, где α→0 при ∆х→0, то есть ∆у=ƒ'(х)•∆х+а•∆х.

Переходя к пределу, при ∆х→0, получаем

А это и означает, что функция у=ƒ(х) непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, в точке х=0 имеем

Отсюда следует, что

не существует, т. е. функция у=|х| не имеет производной в точке х=0, график функции не имеет касательной в точке O(0;0).

Замечания: 1 . Существуют односторонние пределы функции у=|х| в точке х=0:

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно ƒ'- (х) и ƒ'+(х).

Если ƒ'+(х)≠ƒ'_(х), то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.

2. Производная у'=ƒ'(х) непрерывной функции у=ƒ(х) сама не обязательно является непрерывной.

Если функция у=ƒ(х) имеет непрерывную производную у'=ƒ'(х) в некотором интервале (a;b), то функция называется гладкой.

20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)'=с•u', где с = const;
б)  (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.  

Теорема 20.4. Производная частного двух функций   если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

Следствие 20.1.

 

Следствие 20.2.

20.5. Производная сложной и обратной функций

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'х в точке х, которая находится по формуле у'х=у'u-u'х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у'u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢ х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ u(u'х•∆х+ß*∆х)+а(u'х•∆х+ß•∆х),

т.е.

∆у=у'u•u'х•∆х+у'u•ß•∆х+u'х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'х=у'u*u'х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'х=у'u•u'ν•ν'х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log23tg x4.


Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u3, где u=Iog2z, где z=tgq, где q=х4. По правилу дифференцирования сложной функции (у'х=y'u•u'z•z'q•q'x) получаем:


<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у'х для функции 


Решение: Обратная функция х=у3+1 имеет производную х'y =3у2.

Следовательно,


 20.6. Производные основных элементарных функций

Степенная функция у=xn, n є N

Дадим аргументу х приращение ∆х. Функция у=хn получит приращение ∆у=(х+∆х)n-xn. По формуле бинома Ньютона имеем

Находим предел составленного отношения при ∆х→0:

Таким образом,(хn)=n•хn-1

Например, (х3)'=3х2, (х2)'=2х, х'= 1.

Ниже будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом n є R (а не только натуральном).

Показательная функция у=ах, а>0, а≠1

Найдем сначала производную функции у=ех. Придав аргументу х приращение ∆х, находим приращение функции ∆у: ∆у=ех+∆ххх∆х-1). Стало быть,

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех-l~x при х→0.

Итак, у'=ех, т.е.

(ex)'=ex

Теперь рассмотрим функцию у=ах, х є R. Так как ах=exlna, то по формуле производной сложной функции находим:

x)'=(ехlnа)'=exlna•(х•lna)'=ехlnа•lna=ax•lnа.

Таким образом, (aх)'=aхInа.

<< Пример 20.5

 Найти производную функции у=7х2-4х.


Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

y'=(7x2-4x)'=7x2-4xln7(x2-4x)'=7x2-4xln7(2x-4).


Логарифмическая функция у=logax, a>0, α≠1

Найдем сначала производную функции у=lnх. Для нее

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись эквивалентностью

получаем:

т. е.

Теперь рассмотрим функцию y=logax.

Так как
 
то

Таким образом,

<< Пример 20.6

Найти производную функции у=ln(х4-2х2+6).


Решение:
Производную логарифмической функции у=Iogax можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х=ау, то по формуле производной обратной функции имеем:


Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx

Для функции у=sinx имеем:

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись первым замечательным пределом

получаем

т. е. у'=cosx или (sinx)'=cosx.

Найдем производную функции у=cos x, воспользовавшись формулой производной сложной функции:

т. е. (cosх)'=-sinx

Для нахождения производных функций у=tgx и у=ctgx воспользуемся формулой производной частного:

Проделав аналогичные операции, получим формулу

Этот результат можно получить иначе:

<< Пример 20.7

Найти производную функции у=cos2x.


Решение: (cos2x)'=-sin2x•(2х)'=-2sin2x.

Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosx, y=arctgar, у=arcctgx

Пусть у=arcsinx. Обратная ей функция имеет вид x=siny, ує[-p/2; p /2]. На интервале (-p /2;p/2) верно равенство x'=cosy≠0.

По правилу дифференцирования обратных функций

где перед корнем взят знак плюс, так как cosy>0 при ує(-p /2;p/2).

Итак,

Аналогично получаем, что

Эту формулу можно получить проще: так как arccosх+arcsinх=p/2, т.е. arccosx=p/2-arcsinх, то (arccosx)'=(p /2-arcsinх)=-1/Ö (1-х2)

Найдем производную функции у=arctgx.

Она является обратной к функции х=tgy, где ує(-p/2;p /2).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

Итак,

Функции arctgх и arcctgх связаны отношением

arctgx+arcctgх=p /2,    т. е.    arcctgх=p /2-arctgx.

Дифференцируя это равенство, находим

<< Пример 20.8

Найти производные функций: 1) у=arccosx2; 2) у=х•arctgx; 3) у=(1+5х-3х3)4; 4) у=arccosÖх; 5) у=log23(3+2).



Замечание: Найдем производную степенной функции у=хa с любым показателем a єR. В этом случае функция рассматривается для х>0.

Можно записать хaαln(x). По правилу дифференцирования сложной функции находим

т.е. (хa )'=aхa -1 .

Формула остается справедливой и для х<0, если функция у=хa существует:

при всех х≠0.

<< Пример 20.9

Показать, что функцияудовлетворяет уравнению х3•у'+1=х4.


Решение: Находим у':

Подставляем значение у' в данное уравнение:

Функция удовлетворяет данному уравнению.


20.7. Гиперболические функции и их производные

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

 — гиперболический синус;

 — гиперболический косинус («цепная линия»);

 — гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число.

На рисунках (132-135) показаны графики гиперболических функций.

Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:

ch2x-sh2x=1;

sh(x ± у) = sh х • ch у ± ch x • sh у;

ch(x ± у) = ch x • ch у ± sh x • sh у;

sh 2x = 2 sh x • ch x;        ch 2x = ch2 x + sh2 x.

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).

Найдем производные гиперболических функций:

20.8. Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».

Правила дифференцирования

Формулы дифференцирования

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

<< Пример 20.10

Найти производную функции у=х4-3х3+2х-1.


Решение: у'=(х4-3х3+2х-1)'=(х4)'-(3х3)'+(2х)'-(1)'=4х3-3(х3)' Надо стараться обходиться без лишних записей.

<< Пример 20.11

Найти производную функции у=2х3/tg х


Решение:

Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

<< Пример 20.12

Найти производную функции у=cos(ln122x).


Решение: Коротко: у'=-sin(ln122x)•12ln112x•1/2х•2.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у=cos(u), u=t12, t=ln(z), z=2x. Производную сложной функции найдем по правилу у'х=у'u•u't•t'z•z'х (здесь промежуточных аргументов три):

у'х=-sinu•12•t11•1/z•2,
у'х=-sint12•12•(lnz)11•1/2x•2,
у'х=-sin(lnz)12•12•ln11z•1/x,
у'х=-sin(ln122x)•12•ln112x•1/x,
Окончательно
    у'х=-12•sin(ln122x)•ln112x•1/x


загрузка...
Сторінки, близькі за змістом