§ 20. Производная функции
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
§ 20. Производная функции20.1. Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки. Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где OM1=S+∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t). Отношение ∆S/∆t - выражает среднюю скорость движения точки зв время ∆t:
Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим
Касательная к кривой Дадим сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1 (см. рис. 128). Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М1.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k=tga, где a— угол касательной с осью Ох. Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсциссой х+∆х секущую (см. рис. 129). Обозначим через φ — угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
При ∆х→0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю;
поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а
секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходите касательную.
Угол φ→α, т. е.
Следовательно, Поэтому угловой коэффициент касательной равен
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят .решения и множества других задач. Можно показать, что: - если Q=Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
- если N=N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
- если m=m(x) — масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть
Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
(читается «V равно S штрих по t», «тангенс α равен у штрих по х» и т. д.). 20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть функция у=ƒ(х) определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции: - аргументу х є (α; b) дадим приращение ∆х: х+∆х є (a; b); - найдем соответствующее приращение функции: ∆у=ƒ(х+∆х)—ƒ(х); - составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆у/∆х; - найдем предел этого отношения при ∆х→0: Если этот предел существует, то его называют производной функции ƒ(х) и обозначают одним из символов f'x, ƒ'(х); у'; у'х;.dy/dx Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из данной функции. Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х0 обозначается одним из символов: ƒ'(х0), у'|x=xo или у'(х0). << Пример 20.1 Найти производную функции у=С, С=const. Решение: - Значению х даем приращение ∆х;
<< Пример 20.2 Найти производную функции у=х2. Решение: - Аргументу х даем приращение ∆х;
- находим предел этого отношения:
Таким образом, (х2)'=2х. В задаче про скорость прямолинейного движения было получено
Это равенство перепишем в виде V=S't, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной. Обобщая, можна сказать, что если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной. В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной
Это равенство перепишем в виде ƒ'(х) = tga = k, т. е. производная ƒ'(х) β точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной. Если точка касания М имеет координаты (х0;y0) (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть k=ƒ'(х0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (у-yо—k(x—х0)), можно записать уравнение касательной: у—у0=ƒ'(х0)•(х-х0).
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент Поэтому уравнение нормали имеет вид у—у0= 20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Пусть функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆y/∆x=ƒ'(х)+а, где α→0 при ∆х→0, то есть ∆у=ƒ'(х)•∆х+а•∆х. Переходя к пределу, при ∆х→0, получаем А это и означает, что функция у=ƒ(х) непрерывна в точке х.
Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, в точке х=0 имеем Отсюда следует, что не существует, т. е. функция у=|х| не имеет производной в точке х=0, график функции не имеет касательной в точке O(0;0). Замечания: 1 . Существуют односторонние пределы функции у=|х| в точке х=0: В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно ƒ'- (х) и ƒ'+(х). Если ƒ'+(х)≠ƒ'_(х), то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции. 2. Производная у'=ƒ'(х) непрерывной функции у=ƒ(х) сама не обязательно является непрерывной. Если функция у=ƒ(х) имеет непрерывную производную у'=ƒ'(х) в некотором интервале (a;b), то функция называется гладкой. 20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул. Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'. Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.
т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'. При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0. Можно показать, что: а) (с•u)'=с•u', где с = const; Теорема 20.4. Производная частного двух функций если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
Пусть у=u/v. Тогда
Следствие 20.1.
Следствие 20.2. 20.5. Производная сложной и обратной функций Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х. Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'х в точке х, которая находится по формуле у'х=у'u-u'х. По условию
Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем
∆у=у'u•∆u+α*∆u, (20.6) где α→0 при ∆u→0. Функция u=φ(х) имеет производную в точке х: этому ∆u=u¢ х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0. Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим Δy=y¢ u(u'х•∆х+ß*∆х)+а(u'х•∆х+ß•∆х), т.е. ∆у=у'u•u'х•∆х+у'u•ß•∆х+u'х•а•∆х+α•ß•∆х. Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'х=у'u*u'х. Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'х=у'u•u'ν•ν'х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции. Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством
Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать
Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как
то из (20.7) следуют равенства
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
<< Пример 20.3 Найти производную функции у=log23tg x4. Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u3, где u=Iog2z, где z=tgq, где q=х4. По правилу дифференцирования сложной функции (у'х=y'u•u'z•z'q•q'x) получаем:
<< Пример 20.4 Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную у'х для функции Решение: Обратная функция х=у3+1 имеет производную х'y =3у2. Следовательно,
20.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция у=xn, n є N Дадим аргументу х приращение ∆х. Функция у=хn получит приращение ∆у=(х+∆х)n-xn. По формуле бинома Ньютона имеем
Находим предел составленного отношения при ∆х→0: Таким образом,(хn)=n•хn-1 Например, (х3)'=3х2, (х2)'=2х, х'= 1. Ниже будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом n є R (а не только натуральном). Показательная функция у=ах, а>0, а≠1 Найдем сначала производную функции у=ех. Придав аргументу х
приращение ∆х, находим приращение функции ∆у: ∆у=ех+∆х-ех
=ех(е∆х-1). Стало быть,
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех-l~x при х→0. Итак, у'=ех, т.е. (ex)'=ex Теперь рассмотрим функцию у=ах, х є R. Так как ах=exlna, то по формуле производной сложной функции находим: (аx)'=(ехlnа)'=exlna•(х•lna)'=ехlnа•lna=ax•lnа. Таким образом, (aх)'=aхInа. << Пример 20.5 Найти производную функции у=7х2-4х. Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим y'=(7x2-4x)'=7x2-4xln7(x2-4x)'=7x2-4xln7(2x-4). Логарифмическая функция у=logax, a>0, α≠1 Найдем сначала производную функции у=lnх. Для нее Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись эквивалентностью Теперь рассмотрим функцию y=logax. Так как Таким образом, << Пример 20.6 Найти производную функции у=ln(х4-2х2+6). Решение: Производную логарифмической функции у=Iogax можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х=ау, то по формуле производной обратной функции имеем:
Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx Для функции у=sinx имеем:
Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись первым замечательным пределом
т. е. у'=cosx или (sinx)'=cosx. Найдем производную функции у=cos x, воспользовавшись формулой производной сложной функции: т. е. (cosх)'=-sinx Для нахождения производных функций у=tgx и у=ctgx воспользуемся формулой производной частного: Проделав аналогичные операции, получим формулу Этот результат можно получить иначе: << Пример 20.7 Найти производную функции у=cos2x. Решение: (cos2x)'=-sin2x•(2х)'=-2sin2x. Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosx, y=arctgar, у=arcctgx Пусть у=arcsinx. Обратная ей функция имеет вид x=siny, ує[-p/2; p /2]. На интервале (-p /2;p/2) верно равенство x'=cosy≠0. По правилу дифференцирования обратных функций
где перед корнем взят знак плюс, так как cosy>0 при ує(-p /2;p/2). Итак,
Аналогично получаем, что
Эту формулу можно получить проще: так как arccosх+arcsinх=p/2, т.е. arccosx=p/2-arcsinх, то (arccosx)'=(p /2-arcsinх)=-1/Ö (1-х2) Найдем производную функции у=arctgx. Она является обратной к функции х=tgy, где ує(-p/2;p /2). Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что
Итак,
Функции arctgх и arcctgх связаны отношением arctgx+arcctgх=p /2, т. е. arcctgх=p /2-arctgx. Дифференцируя это равенство, находим
<< Пример 20.8 Найти производные функций: 1) у=arccosx2; 2) у=х•arctgx; 3) у=(1+5х-3х3)4; 4) у=arccosÖх; 5) у=log23(3+2-х).
Замечание: Найдем производную степенной функции у=хa с любым показателем a єR. В этом случае функция рассматривается для х>0. Можно записать хa =еαln(x). По правилу дифференцирования сложной функции находим
т.е. (хa )'=aхa -1 . Формула остается справедливой и для х<0, если функция у=хa существует:
при всех х≠0. << Пример 20.9 Показать, что функцияудовлетворяет уравнению х3•у'+1=х4. Решение: Находим у':
Подставляем значение у' в данное уравнение:
Функция удовлетворяет данному уравнению. 20.7. Гиперболические функции и их производные В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: — гиперболический синус; — гиперболический косинус («цепная линия»); — гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число. На рисунках (132-135) показаны графики гиперболических функций. Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости: ch2x-sh2x=1; sh(x ± у) = sh х • ch у ± ch x • sh у; ch(x ± у) = ch x • ch у ± sh x • sh у; sh 2x = 2 sh x • ch x; ch 2x = ch2 x + sh2 x. Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций. Например, Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136). Найдем производные гиперболических функций: Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы. На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u». Правила дифференцирования
Формулы дифференцирования
Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений. << Пример 20.10 Найти производную функции у=х4-3х3+2х-1. Решение: у'=(х4-3х3+2х-1)'=(х4)'-(3х3)'+(2х)'-(1)'=4х3-3(х3)' Надо стараться обходиться без лишних записей. << Пример 20.11 Найти производную функции у=2х3/tg х Решение:
Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7. << Пример 20.12 Найти производную функции у=cos(ln122x). Решение: Коротко: у'=-sin(ln122x)•12ln112x•1/2х•2. Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у=cos(u), u=t12, t=ln(z), z=2x. Производную сложной функции найдем по правилу у'х=у'u•u't•t'z•z'х (здесь промежуточных аргументов три): у'х=-sinu•12•t11•1/z•2, загрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
Copyright © 2008—2024 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|