→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Определенный интеграл

§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразнуюF(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

42.1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейнойтрапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х0 = а, x1, х2,..., хn = b. Можно записать, что хi= х0+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В серединекаждого такого отрезка построим ординату ŷi =ƒ(сi) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷi.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М2 — наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае ƒ"(х)=0.

42.2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х0, x12,...,b = хn (рис. 201). Пусть у01...,уn

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулыдля этих значений примут вид хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями уi, yi+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность Rn приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы• М2, где Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) — точная.

42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [xi-1;xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах2 + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M1(-h;у0), М2(0; y1), М3(h; у2), где у0 = ah2 -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y1 = с — ордината параболы в точке х = 0; у2 = аh2 + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у0, y1, у2. Из равенств для ординат у (находим, что с=y1,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длинойточками xi0 + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х0, x1, x2,..., x2n-2 ,x2n-1, x2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у0, у12,..., у2n-2, у2n-1, у2n, где уi=ƒ(хi) (см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х02] парабола проходит через три точки (х00), (x1;y1), (x2;y2). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степенькоторого меньше или равна трем (тогда fIV = 0).

 

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем: ƒ(х) = х3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующихформул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.

 

 

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом