→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 16. Предел функции

16.  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

16.1.  Предел функции в точке

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А

В этом случае пишут      
или ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке хо (или при х→хо), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹хо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки хо, что для всех х¹хо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Доказать, что


Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.


<< Пример 16.2



16.2. Односторонние пределы

В   определении   предела   функции считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела  функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке хо, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ;xo), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х0-0 или коротко: ƒ(хо-0)=А1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ(хо+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует  , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А12.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х0-0) и ƒ(х0+0) и они равны, то существует предел  и А=ƒ(х0-0).

Если же А1¹А2, то етот придел не существует.

16.3.  Предел функции при х ®

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для "ε>0  $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).

16.4.  Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х0, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х—>2.

Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→хо и принимает лишь положительные значения, то пишут

если лишь отрицательные значения, то

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность vn=n2+1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки хо является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)

Однако, если limƒ(х)=А при х→x0, где А — конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки хо.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (хо-ε; хо+ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом