→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 15. Последовательности

15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

15.1 Числовая последовательность

Под числовой последовательностью х1, х2, x3,..., хn... понимается функция

xn=f(n)                                         (15.1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {хn} или хn, nєN. Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, х2 — вторым,..., хn — общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру , по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

задают соответственно последовательности

Последовательность {хn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого nєN выполняется неравенство

n|≤М.

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности уn и un ограничены, а νn и zn — неограничены.

Последовательность {хn} называется возрастающей (неубывающей), если для любого п выполняется неравенство an+1>an  (an+1≥аn). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности vn, yn, un монотонные, a zn — не монотонная.

Если все элементы последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент xi (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (n-1)-му:

xn=f(xn-1).

Таким образом, x2=ƒ(xi), х3=ƒ(х2) и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

15.2.  Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности un неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность un, nєN стремится к пределу 1.

Число α называется пределом последовательностиn), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

n-α|<ε                                             (15.2)

В этом случае пишут
  и говорят, что последовательность {хn} (или переменная хn, пробегающая последовательность x1, x2, х3,...) имеет предел, равный числу α (или хn стремится к α). Говорят также, что последовательность сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Пример (15.1):

xn=f(n)                                         (15.1)

Заметим, что число N зависит от ε. Так, если ε =3/26, то

Поэтому иногда записывают N = N(ε ).

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам —ε<хn-a<ε или a-ε<хn<a+ε,которые показывают, что элемент хn находится в ε-окрестности точки a.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число a называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окресности точки a найдётся натуральное число N, что все значения хn, для которых n>N, попадут в ε-окрестность точки a (см. рис. 109).

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся  последовательность  имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность vn (см.5.1).

Постоянная последовательность хn=с, n є N имеет предел, равный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для "ε>0 при всех натуральных n выполняется неравенство (15.2).  Имеем |xn-c|=|c-c|=0< ε.

15.3 Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности {хn}, {уn} и {zn}.

Теорема 15.1.
       Если
  
и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство хn≤ уn то a≤b.

(Примем без доказательства.)

15.4.  Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность.

По формуле бинома Ньютона

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1/n — убывает, поэтому величины (1-1/n), (1-1/n), ... возрастают.

Поэтому последовательность {хn} = { (1+1/n)n }— возрастающая, при этом

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому

Итак, последовательность ограничена, при этом для "n є N выполняются неравенства (15.4) и (15.5):

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:

Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение зэавно 2,72 {е=2,718281828459045..). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x), т. е. Ln(x)=logex. Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем х=еln(x). Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

Пользуясь десятичными  логарифмами,  находим  lge ≈ 0,4343.   Значит, lgx ≈ 0,4343•ln(х). Из этой формулы следует, что ln(x) ≈ 1/0.4343 lg(x),  т. е. Ln(х) ≈ 2,3026 lgx. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом