|
§ 40. Несобственные интегралы
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
§ 40. Несобственные интегралыОпределенный интеграл Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. 40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞).
Если существует конечный предел Таким образом, по определению
В этом случае говорят, что несобственный интеграл Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что
интеграл Аналогичноопределяется несобственный
Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба
интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на
промежутке [а; +∞) и интеграл
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) Решение: 1) 2) 3)
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет. Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞)
непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию
0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(х), то из сходимости
интеграла сти интеграла Пример 40.2. Сходится ли интеграл Решение: При х ≥ 1 имеем
Теорема 40.2. Если существует предел
одновременно
оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле
сходимости).Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла Решение: Интеграл
40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный
разрыв при х = b. Если существует конечный предел
Таким образом,поопределению,
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба
несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0,
несобственный интеграл второго рода
Пример 40.4. Вычислить Решение: При х = 0 функция
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; b) функции ƒ(х) и φ(х)
непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤
ƒ(х) ≤ φ(x).
Из сходимости интеграла
Теорема 40.4. Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны на
промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует предел
одновременно
сходятся или одновременно расходятся.
Пример 40.5. Сходится ли интеграл Решение: Функция
расходится. И так как
то интеграл Зверніть увагу на додаткові посиланняЯкщо вас цікавить...Головний розділСторінки, близькі за змістомзагрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
|
Copyright © 2008—2024 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|