→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 19. Непрерывность функций

19.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х→хо;

3)  предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как    то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение хо.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции еx . 

<< Пример 19.1

Вычислить  


Решение:

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.


Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку хоє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-хо называется приращением аргумента х  в точке х0 и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x0. Отсюда х=х0+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х0 и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х0 и х-х0→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид  или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непре-рывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.


Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

Тогда

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.


19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).

19.3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0.

Например, функция у1/(x-2)  не определена в точке х0=2 (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х0. Например, функция

определена в точке х0=2    (ƒ(2)=0), однако в точке х0=2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х→2:

3. Функция  определена в  точке  х0 и  ее  окрестности,  существует но  этот  предел  не  равен  значению   функции  в  точке x0:

Например, функция (см. рис. 122)

Здесь x0=0 — точка разрыва:  a g(х0)=g(0)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

 

При этом:

а) если А12, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
б) если А1≠А2, то точка х0 называется точкой конечного разрыва.

Величину |A12| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у=1/(x-2)  x0=2 -точка разрыва второго рода.

2. Для функции

х0=2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0|=1.

3. Для функции

х0=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной

<< Пример 19.3

Дана функция ƒ(х)=|x-3|/(x-3). Найти точки разрыва, выяснить их тип.


 Решение: Функция ƒ (х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3. Очевидно,

Следовательно,

Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв пещюго рода. Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2.


19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 19.1 . Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

▼Пусть функция ƒ(х) и φ(х) непрерывны на некотором множестве X и x0 — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x)=ƒ(х)•φ(х). Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак,  что и доказывает непрерывность функции ƒ(х)•φ(х) в точке х0. ▲

Теорема 19.2 . Пусть функции u=φ(х) непрерывна в точке х0, а функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u0=φ(хо). Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая из непрерывных, функций, непрерывна в точке х0.

▼В силу непрерывности функции u=φ(х) 

т. е.при х→х0 имеем u→u0. Поэтому вследствие непрерывности функции у=ƒ(u) имеем:

Это и доказывает, что сложная функция у=ƒ(φ(х)) непрерывна в точке х0. ▲

Теорема 19.3 . Если функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция tgx=sinx/cosx . в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosх=0, т. е. кроме значений х=π/2+πn, nєZ.

Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

<< Пример 19.4

Найти  


 Решение: Функция   непрерывна  в точке х=p/4, поэтому
 

19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х1, а наименьшее m — в точке х2. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М.

Следствие 19.1 . Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри

этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 19.2. Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения ƒ(х)=0.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом