→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Комплексные числа

§ 28. Действия над комплексными числами..

28.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z11+iy1 и z22+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).                             (28.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

  • z1+z2=z2+z1
  • (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

28.2 Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:

z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).                          (28.2)

Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1.

28.3 Умножение комплексных чисел

Произведением к омплексных чисел z11 +iy1 и z22+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ).                    (28.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 =- 1.                                                 (28.4)

Действительно, i2=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2:

1 +iy1 )(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2 ).

Например,

(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i.

Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х22 — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z1z2=z2z1

(z1z2)z3=z1(z2z3).

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

В этом легко убедиться, используя определение (28.3).

Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме:

z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)=

r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)=

=r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))=

=r1r2(cos(φ12)+i sin(φ12)),

т. е.

z1z2=r1r2(cos(φ12)+isin(φ12)).

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ).              (28.5)

Формула (28.5) называется формулой Муавра.

Пример 28.1

Найти  


Решение: Запишем сначала число   в тригонометрической форме:

По формуле Муавра имеем

28.4. Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, дает число z1, т. е. z1/z2=z, если z2z=z1.

Если положить z1=x1+iy1; z22+iy2≠0, z=х+iy, то из равенства (х2+iy2)(x+iy)=x1+iy1 следует

Решая систему, найдем значения х и у:

Таким образом,

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример 28.2 

Выполнить деление   


Решение:

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.


28.5. Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ωn=z, т. е., если ωn= z.

Если положить z=r(cosφ+isinφ), а ω=r(cosθ+isinθ), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

z=ωn =rn(cos nθ+isin nθ)-r(cosφ+isinφ).

Отсюда имеем rn=r, nθ=φ+2πk, k=0,-1,1,-2,2,... To есть

и     (арифметический корень).

Поэтому равенствопринимает вид

Получим n различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при k=n имеем

Итак, для любого z≠0 корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных значений.

Пример 28.3

Найти значения  


Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

.

Стало быть,

При k=0 имеем

 

при k=1 имеем

при k=2 имеем

б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:

-1=cosπ+isinπ.

Поэтому

При k=0 получаем ω0=cosp/2+isinp/2=i, а при k=1 получаем


загрузка...
Сторінки, близькі за змістом