|
§ 28. Действия над комплексными числами..
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
§ 28. Действия над комплексными числами..28.1. Сложение комплексных чисел Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). (28.1) Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника. 28.2 Вычитание комплексных чисел Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). (28.2) Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости. Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1. 28.3 Умножение комплексных чисел Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ). (28.3) Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение i 2 =- 1. (28.4) Действительно, i2=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2: (х1 +iy1 )(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2 ). Например, (2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i. Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х2+у2 — действительное число. Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами: z1z2=z2z1 (z1z2)z3=z1(z2z3). z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. В этом легко убедиться, используя определение (28.3). Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме: z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)= r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)= =r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))= =r1r2(cos(φ1+φ2)+i sin(φ1+φ2)), т. е. z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)). Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ). (28.5) Формула (28.5) называется формулой Муавра. Пример 28.1 Найти
Решение: Запишем сначала число  в
тригонометрической форме:
По формуле Муавра имеем
28.4. Деление комплексных чисел Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, дает число z1, т. е. z1/z2=z, если z2z=z1. Если положить z1=x1+iy1; z2=х2+iy2≠0, z=х+iy, то из равенства (х2+iy2)(x+iy)=x1+iy1 следует
Решая систему, найдем значения х и у:
Таким образом,
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»). Пример 28.2 Выполнить деление
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид
При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются. 28.5. Извлечение корней из комплексных чисел Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень. Корнем n-й степени из комплексного числа z
называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ωn=z,
т. е. Если положить z=r(cosφ+isinφ), а ω=r(cosθ+isinθ), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z=ωn =rn(cos nθ+isin nθ)-r(cosφ+isinφ). Отсюда имеем rn=r, nθ=φ+2πk, k=0,-1,1,-2,2,... To есть
Поэтому равенство
Получим n различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при k=n имеем
Итак, для любого z≠0 корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных значений. Пример 28.3 Найти значения
Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:
Стало быть,
При k=0 имеем
при k=1 имеем
при k=2 имеем
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: -1=cosπ+isinπ. Поэтому
При k=0 получаем ω0=cosp/2+isinp/2=i, а при k=1 получаем
Зверніть увагу на додаткові посиланняЯкщо вас цікавить...Головний розділСторінки, близькі за змістомзагрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
|
Copyright © 2008—2026 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|
Вища математика
Математика
,
если ω
и 
принимает
вид
.
