§ 11. Линии второго порядка на плоскости

11.1.  Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

    (11.1)

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2.  Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке  называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка  в прямоугольной системе координат  имеет координаты x₀, y₀ а  — произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия  получаем уравнение

, то есть

        (11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки  данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая  и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1)  коэффициенты при x² и у² равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения  и , получим

 (11.3)

Преобразуем это уравнение:

т.е.

      ,

т.е.

               (11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

     .

Если же  , то уравнение (11.3) имеет вид

.

Ему удовлетворяют координаты  единственой точки . В этом случае говорят : “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если  , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая” ).    

11.3. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

 Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов — через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c, т. е. a > c.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат  так, чтобы фокусы F₁ и F₂  лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:  и .

Пусть  — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса,  , т. е.

(11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение  (11.5)  к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

Так как a>с, то . Положим

         (11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид    или

        (11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса.

Эллипс — кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей  и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2.  Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки  и , в которых ось  пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A₁, A₂ , B₁, B₂ называются вершинами эллипса . Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3.  Из  уравнения   (11.7)   следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства   и  или  и . Следовательно, все точки эллипса .лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых  и  равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если  возрастает, то  уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения  . При  эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением   .   Отношение   половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

             (11.8)

причем  0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства  (11.6) формулу  (11.8)  можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂ (см. рис. 51). Длины отрезков F₁M=r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точ­ки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

 и

Прямые   называются

Теорема 11.1. Если  — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение  есть постоянная величина, равная эксцентриситету  эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого  лежит на оси Оу, а малая ось  — на оси  Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках  и , где .

11.4.  Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a < 2с, т. е. a < c.

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат  так, чтобы фокусы F₁ и F₂  лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты  и

Пусть  — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы  или , т.е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

                         (11.9)

                  (11.10)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.

1.  Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей  и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2.  Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив   в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью :  и . Положив  в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки  и  называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью, отрезок  — действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки  и  называется мнимой осью, число b  -  мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3.  Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое  не меньше единицы  т. е. что  или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой  (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой  (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда  возрастает, то и  воз­растает. Это следует из того,  что разность  сохраняет   постоянное   значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K  до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола  имеет две асимптоты:

           (11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой  точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на гиперболе  (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые  являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины  и , гиперболы.
 

Уравнение равносторонней гиперболы.

асимптотами которой служат оси координат

 Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

      (11.12)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения  и  и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат  (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Используем формулы поворота осей координат :

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (11.10) следует, что  т.е.  и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение — ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

                                          

Фокальные радиусы   и  для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид  и , а для левой —  и .

Прямые  —  называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы  эллипса.

Кривая, определяемая уравнением  также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2a — на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

  

Очевидно, что гиперболы   и  имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

11.5.  Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид  , или .

Пусть  — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ пер­пендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е.

                                        (11.13)

Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

 

Исследование форм параболы по ее уравнению

1.  В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2.  Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При  имеем у = 0. Следователь­но, парабола проходит через начало коор­динат.

4.  При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола  имеет   вид   (форму),  изображенный на рисунке 61. Точ­ка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения , ,  (p>0)  также определяют параболы, они изображены на рисунке 62

 

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , B и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны a и b. Поместим в центре эллипса O₁ начало новой системы координат , оси которой  и  параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис. 63).

В этой системе координат уравнение эл­липса имеет вид

Так как ,  (формулы па­раллельного переноса, см. с. 52), то в старой системе координат уравнение эллипса запи­шется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке   и полуосями a и b (см. рис. 64):

 

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответству­ющие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности  после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

                                (11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

                                      (11.15)

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (B¹0). Можно, путем поворота координатных осей на угол a, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол a так, чтобы коэффициент при х' · у' обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.