§ 10. Линии на плоскости

10.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты  x и у  каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x₀; у₀) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F₁(x₁;y₁) = 0 и F₂(x₂;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ)=О называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

                                       (10.1)

где x и у — координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, а t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x = t + 1, у = t², то значению параметра t = 1 соот­ветствует на плоскости точка (3; 4), т. к.  x = 1 + 1 = 3, у = 22 - 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t.

Например, от уравнений        путем подстановки t = х

во второе уравнение, легко получить уравнение у = х²; или у-х² = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не  всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r=r(t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t₀ соответствует определенный вектор r=r(t) плоскости. При изменении параметра t конец вектора  r=r(t)  опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Векторному уравнению линии r=r(t) в системе координат   Оху   соответствуют  два   скалярных   уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. I Векторное уравнение и параметрические уравнения I линии имеют механический смысл. Если точка перемеща- I ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (х-2)²+(у-3)² =0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х² + у² + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение) вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

10.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой  (см. рис. 41).

Под углом а (0<a< π) наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой. Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 41). Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В системе Nx'y точка Μ имеет координаты x и у-b.

Из определения тангенса угла следует равенство

, т. е. .

Введем обозначение  tg a=k, получаем уравнение

(10.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент  не существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

         (10.3)

где a — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

          (10.4)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возмож­ны два случая.

Если  В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид  Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ·

Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем . Это есть  уравнение прямой с угловым коэффициентом  |.

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется  общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1)  если А = 0, то уравнение приводится к виду. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2)  если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3)  если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют  координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку  и ее направление определяется  угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой:. Отсюда . Подставляя значение b в уравнение, получим искомое уравнение прямой: , т. е.

                    (10.5)

Уравнение (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями  пучка прямых с центром в точке Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки и . Уравнения прямой, проходящей через точку M₁, имеет вид

         (10.6)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): . Οтсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим  уравнение прямой, проходящей через точки M₁ и M₂.

           (10.7)

Предполагается, что в этом уравнении ·

Если x₂ = x₁ прямая, проходящая через точки и  параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид .

Если y₂ = y₁ то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая M₁M₂ параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу – в точке  (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа α и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем   уравнение   прямой,   проходящей   через   заданную   точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор  (см. рис. 43). Поскольку векторы  и  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , то есть

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор  , перпендикулярный прямой, на­зывается нормальным вектором этой прямой. Уравнение (10.8) можно переписать в виде

       (10.9)

где А и B— координаты нормального вектора,  — сво­бодный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).

Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно опреде­лить, указав расстояние ρ от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОΡ и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).

Для любой точки  на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Следовательно,

    (10.10)

Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат . Введем полярную систему, взяв  за полюс и  за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

,   т. е.  .

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно, уравнение (10.10) прямой  в прямоугольной системе координат примет вид

              (10.11)

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем,    как    привести    уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель .  Получим . Это уравнение долж­но обратиться в уравнение (10.11). Следо­вательно, должны выполняться равенства: , , . Из первых двух равенств находим,т. е. .    Множитель λ называется нормирующим множителем.  Согласно третьему  равенству    знак нормирующего множителя противоположен знаку свобод­ного члена С общего уравнения прямой.

10.3  Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициен­тами  и  (см. рис. 46).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительное направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

Решение: Имеем  (теорема о внешнем угле треугольника) или . Если , то

Но , , поэтому

           (10.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т. е.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то φ = 0 и . Из форму­лы (10.12) следует , т. е. . И обратно, если прямые L₁ и L₂ таковы, что  , то  , т. е. прямые параллельны. Следо­вательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Если прямые L₁ и L₂  перпендикулярны, то . Следовательно,

. Отсюда , т. е.  (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L уравнением  и точка  (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки  до прямой L.

Решение :  Расстояние d отточки до прямой L равно модулю проекции вектора , где - произвольная точка прямой L, на направлении нормального

вектора . Следовательно,

Так как точка  принадлежит прямой L, то , т. е. . Поэтому

          (10.13)

что и требовалось получить.