→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 26. Формула Тейлора

26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х3/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Рn(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Рn(х) степени n:

ƒ(х)=Рn(х)=а01х+а2х2+...+аnхn.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х0, где х0 — произвольное число, т. е. представим Рn(х) в виде

Рn(х)=А0+A1(x-х0)+А2(х-х0)2+...+Аn(х-х0)n        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А0, А1 ,..., Аn продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'n(х)=А1+2А2(х-x0)+3A3(x-x0)2+...+nAn(x-x0)n-1,

Рn''(х)=2А2+2•3А3(х-х0)+...+n(n-1)Аn(х-х0)n-2,        

Рn"'(х)=2•3А3+2•3•4А4(х-х0)+...+n(n-1)(n-2)Аn(х-х0)n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Рn(n)(х)=n(n-1)( n-2)...2•1Аn

Подставляя х=х0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A0,A1,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Рn(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Рn(х) степени n.

<< Пример 26.1

 Разложить многочлен Р(х)=-4х3+3х2-2х+1 по степеням х+1.


Решение: Здесь х0=-1, Р'(х)=-12х2+6х-2, Р"(х)=-24х+6, Р'"(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р"(-1)=30, Р'"(-1)=-24. Следовательно,

т. е.  -4х3+3х2-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)2-4(х+1)3.


26.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х0;х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Рn(х)+Rn(x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Rn(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Рn(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Рn(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).

При х0=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х0)+ƒ'(с)(х-х0) или ƒ(х)-ƒ(х0)=ƒ'(с)(х-x0), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х0)+ƒ'(х0)(х-х0) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

<< Пример 26.2

Найти число е с точностью до 0,001.


Решение: Запишем формулу Маклорена для функции ƒ(х)=ех. Находим производные этой функции: ƒ'(х)=ех, ƒ"(х)=ех, ..., ƒ(n+1)(х)=ех. Так как ƒ(0)=е0= , ƒ'(0)=е0=1, ..., ƒ(n)(0)=1, ƒ(n+1)(с)=ес, то по формуле (26.4) имеем:

Положим х=1:

 

Для нахождения е с точностью 0,001 определим n из условия, что остаточный член

меньше 0,001. Так как 0<с<1, то ес<3.

Поэтому при n=6 имеем

Итак, получаем приближенное равенство

т.е.е≈2,718.


Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом