§ 37. Формула Ньютона-Лейбница

Математика

Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Теорема 37.1. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная на [а; b] (F'(x) = ƒ(х)), то имеет место формула

▼Разобьем отрезок [а;b] точками а = x₀, x₁,..., b = x_n (x₀ < x₁ < ...< х_n) на n частичных отрезков [x₀;x₁], [x₁;x₂],..., [x_n-1;x_n], как это показано на рис. 169.

Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

ƒ(b)-ƒ(а) = ƒ'(с)*(b-а).

Получим

т. е.

где c_iесть некоторая точка интервала (x_i-1; x_i). Так как функция у = ƒ(х) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от ƒ (х) на [а ;b].

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при λ = max ∆x_i→0, получаем

т. е.▲

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b)- F(a) = F(x)|^a_b^,то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции ƒ (х) на отрезке [а; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)- F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

Например,
а