→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Определенный интеграл

§ 37. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Теорема 37.1. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная на [а; b] (F'(x) = ƒ(х)), то имеет место формула

Разобьем отрезок [а;b] точками а = x0, x1,..., b = xn (x0 < x1 < ...< хn) на n частичных отрезков [x0;x1], [x1;x2],..., [xn-1;xn], как это показано на рис. 169.

Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

ƒ(b)-ƒ(а) = ƒ'(с)*(b-а).

Получим

т. е.

где ci есть некоторая точка интервала (xi-1; xi). Так как функция у = ƒ(х) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от ƒ (х) на [а ;b].

Переходя в равенстве (37.2) к пределу при λ = max ∆xi0, получаем

т. е.

Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b)- F(a) = F(x)|ab , то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции ƒ (х) на отрезке [а; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)- F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

Например,
 а

 

Пример 37.1. Вычислить интеграл

Решение:

Пример 37.2. Вычислить интеграл

Решение:

 

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом