→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 46. Экстремум функции двух переменных

46.1. Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х00) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х00), что для каждой точки (х;у), отличной от (хоо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хоо).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х00), из d-окрестности точки (хоо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х00).

На рисунке 210: N1 — точка максимума, а N2 — точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х00) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

 

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'x00)=0, ƒ'y00)=0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х0) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ'y00) = 0.

Геометрически равенства ƒ'x00)=0 и ƒ'y00)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'x=у и z'y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хоо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х00) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy00), С=ƒ''уy00). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х00) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х00) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х00) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.

 

Пример 46.1. Найти экстремум функции z = 3х2у- х3 - у4.

Решение: Здесь z'x=бху-3х2, z'y=3х2-4у3. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки M1(6;3) и М2(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: z''=6у-6х, z''=6х, z''уy=-12у2.

В точке М1(6;3) имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда

АС-В2=-18•(-108)-362=648, т. е. Δ>0.

Так как А<0, то в точке М1 функция имеет локальный максимум: zmax=z(6;3)=3•36•3-63-34=324-216-81=27.

В точке М2(0;0): А =0, В = 0, С = 0 и, значит, Δ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2 равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-у4<0 при х=0, у ≠ 0; z =-х3>0 при х<0, у=0. Значит, в окрестности точки М2(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.

46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).

Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у, z'y2+2ху+х.

  1. Находим все критические точки:


     

    Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

  2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212).
    На участке АВ:
     
    Значения функции z(-1) = -1,


    На участке ВС:
    Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.

    На участке СЕ:
    z'y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2.
    Значения функции
    На участке АЕ:

     Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.
  3. Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E).

 

 

загрузка...
Сторінки, близькі за змістом