§ 46. Экстремум функции двух переменных

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀) Î D.

Точка (х₀;у₀) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х_о;у_о), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(х_о;у_о).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х₀;у₀), из d-окрестности точки (х_о;у_о) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х₀;у₀).

На рисунке 210: N₁ — точка максимума, а N₂ — точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х₀;у₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х₀; у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'_x(х₀;у₀)=0, ƒ'_y(х₀;у₀)=0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию ƒ(х;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х₀) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ'_y(х₀;у₀) = 0.

Геометрически равенства ƒ'_x(х₀;у₀)=0 и ƒ'_y(х₀;у₀)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z₀ (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция

имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'_x=у и z'_y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х_о;у_о) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=ƒ''_xy(х₀;у₀), С=ƒ''_уy(х₀;у₀). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х₀;у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример 46.1. Найти экстремум функции z = 3х²у- х³ - у⁴.

Решение: Здесь z'_x=бху-3х², z'_y=3х²-4у³. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Находим частные производные второго порядка данной функции: z''_xх=6у-6х, z''_xу=6х, z''_уy=-12у₂.

Так как А<0, то в точке М₁функция имеет локальный максимум: z_max=z(6;3)=3•36•3-63-34=324-216-81=27.

В точке М₂(0;0): А =0, В = 0, С = 0 и, значит, Δ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М₂ равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-у⁴<0 при х=0, у ≠ 0; z =-х³>0 при х<0, у=0. Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.

46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

ример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х²у + ху² + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = ¹/_x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).

Зверніть увагу на додаткові посилання

Зверніть увагу на додаткові посилання

Якщо вас цікавить...

Головний розділ

Сторінки, близькі за змістом