→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции

18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

18.1. Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.

 и

1. Если ¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если  не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.

<< Пример 18.1<

Сравнить порядок функций α=3х2 и  ß=14х при х→0


Решение: При х→0 это б.м.ф. одного порядка, так как

Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью


<< Пример 18.2

Являются ли функции α=3х4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0?


Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как

В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß.


<< Пример 18.3

Сравнить порядок функций α=tgx и ß=х2 при х→0.


Решение: Так как

то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß.


<< Пример 18.4

Можно ли сравнить функции    и ß=х при х→0?


Решение: Функции  и ß=х при х→0 являются несравнимыми б.м.ф., так как предел

не существует.

18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если   то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к   при x→0, т. к.

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

  т. е.   Отсюда    т. е. α~ß. Аналогично,   если то α~ß.

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е.  . Тогда

Следовательно, α+ß~ß при х→х0.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

<< Пример 18.5

Найти предел


Решение:

поскольку

3х+7х2~3х и sin2х~2х при х→0.


18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

<< Пример 18.6

Покажем, что 1—cosx~х2/2 - при х→0.


Решение:
  

<< Пример 18.7

Найдем 


Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0.

Поэтому

Следовательно, arcsin х~х при х→0.


<< Пример 18.8
 

Покажем, что   при х→0.

Решение: Так как
 
 то   при х→0.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

  1. sinx~х при х→0;
  2. tgx~х (х→0);
  3. arcsinх ~ х (х→0);
  4. arctgx~х (х→0);
  5. 1-cosx~x2/2 (х→0);
  6. ех-1~х (х→0);
  7. αх-1~х*ln(a) (х→0);
  8. ln(1+х)~х (х→0);
  9. loga(l+х)~х•logaе (х→0);
  10. (1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);

<< Пример 18.9

Найти  


Решение: Так как tg2x~2x,sin3x~3х при х→0, то
 

<< Пример 18.10

 Найти


Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому


<< Пример 18.11

Найти


Решение: Так как arcsin(x-1)~(х-1) при х→1, то
 

18.4 Приближенные вычисления

Если α~ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß.

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

<< Пример 18.12

Найти приближенное значение для In 1,032.


Решение: In(1,032)=ln(1+0,032)≈0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что In 1,032=0,031498...
загрузка...
Сторінки, близькі за змістом