|
§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции
ADO в Delphi AJAX Android C++ CakePHP CMS COM CSS Delphi Flash Flex HTML Internet Java JavaScript MySQL PHP RIA SCORM Silverlight SQL UML XML Бази даних Веб-розробка Генетичні алгоритми ГІС Гітара Дизайн Економіка Інтелектуальні СДН Колір Масаж Математика Медицина Музика Нечітка логіка ООП Патерни Подання знань Розкрутка сайту, SEO САПР Сесії в PHP Системне програмування Системний аналіз Тестологія Тестування ПЗ Фреймворки Штучний інтелект
|
§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ 18.1. Сравнение бесконечно малых функций Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу. Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
1. Если
2. Если,
3. Если
4. Если
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0. << Пример 18.1< Сравнить порядок функций α=3х2 и ß=14х2 при х→0 Решение: При х→0 это б.м.ф. одного порядка, так как
Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью << Пример 18.2 Являются ли функции α=3х4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0? Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как
В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß. << Пример 18.3 Сравнить порядок функций α=tgx и ß=х2 при х→0. Решение: Так как
то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß. << Пример 18.4 Можно ли сравнить функции
Решение: Функции
не существует. 18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. Если Например, sinx~х при х→0, т.к
Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые. Действительно, так как
Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем
α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е.
Следовательно, α+ß~ß при х→х0. Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы. Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка. << Пример 18.5 Найти предел
Решение:
поскольку 3х+7х2~3х и sin2х~2х при х→0. 18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций Вычисление пределов Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф. << Пример 18.6 Покажем, что 1—cosx~х2/2 - при х→0. Решение: ![]() << Пример 18.7 Найдем
Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0. Поэтому
Следовательно, arcsin х~х при х→0. << Пример 18.8 Покажем, что
то Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
<< Пример 18.9 Найти
Решение: Так как tg2x~2x,sin3x~3х при х→0, то << Пример 18.10 Найти Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому
<< Пример 18.11 Найти Решение: Так как arcsin(x-1)~(х-1) при х→1, то Если α~ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß. Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул. Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х. Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
<< Пример 18.12 Найти приближенное значение для In 1,032. Решение: In(1,032)=ln(1+0,032)≈0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что In 1,032=0,031498... загрузка...
|
Сторінки, близькі за змістом
|
|
Copyright © 2008—2024 Портал Знань.
При використанні матеріалів посилання, для інтернет-ресурсів — гіперпосилання, на Znannya.org обов'язкове.
Зв'язок
|
НТУУ "КПІ" Інженерія програмного забезпечення КПІ Лабораторія СЕТ |
|