→ Пошук по сайту       Увійти / Зареєструватися
Знання Вища математика Введение в анализ

§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

21.1. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х33-3ху=0.


Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х33-3ху=0. Из полученного соотношения

2+3у2· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у2у'-ху'=у-х2, т. е. у'=(у-х2)/(у2-х).


21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть 

Найти у'х.


Решение: Имеем   x't=3t2,   y't=2t.   Следовательно,   у'х=2t/t2,   т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно,   Тогда   Отсюда т. е.


загрузка...
Сторінки, близькі за змістом